Standardabweichung: STABW.S oder STABW.N und was die Zahl sagt

Zwei Filialen einer Bäckerei verkaufen im Schnitt genau 120 Brezeln am Tag. Für die Einkaufsplanung klingt das nach derselben Lage. Schaut man in die Tagesliste, sieht man den Unterschied: In der einen Filiale schwankt der Absatz zwischen 117 und 123 Stück, in der anderen zwischen 90 und 150. Wer dort jeden Tag 120 Brezeln backt, wirft an manchen Tagen ein Viertel weg und ist an anderen um die Mittagszeit ausverkauft.

Der Mittelwert beschreibt, wo die Daten liegen. Wie weit sie auseinanderliegen, beschreibt die Standardabweichung. Dieser Artikel rechnet sie einmal von Hand nach, erklärt den Unterschied zwischen STABW.S und STABW.N und zeigt, woran Sie eine falsch berechnete Streuung erkennen.

Das Beispiel: zwei Filialen, ein Mittelwert

Beispieldatei: verkaufte Brezeln zweier fiktiver Filialen an zehn aufeinanderfolgenden Werktagen. Filiale A steht in B2:B11, Filiale B in C2:C11.

Beide Reihen summieren sich auf 1.200 Brezeln, der Mittelwert ist in beiden Fällen 120. Die Standardabweichung trennt sie deutlich:

=STABW.S(B2:B11)   → 2           (Filiale A)
=STABW.S(C2:C11)   → 22,676469…  (Filiale B, gerundet 22,68)

In Worten: Bei Filiale A weicht ein typischer Tag um etwa 2 Brezeln vom Durchschnitt ab, bei Filiale B um gut 22. Für die Backplanung ist das die eigentlich wichtige Zahl.

Was die Zahl misst: einmal von Hand nachgerechnet

Microsoft beschreibt die Standardabweichung in der Dokumentation als „Maß für die Streuung von Werten bezüglich ihres Mittelwerts". Wie das gerechnet wird, sieht man am besten an einer kleinen Reihe. Beispiel: Lieferzeiten von fünf Bestellungen in Tagen (fiktiv): 3, 5, 4, 8 und 5. Der Mittelwert ist 25 ÷ 5 = 5.

Die Abweichungen allein summieren sich immer zu null, deshalb werden sie quadriert. Die Summe der Quadrate, 14, wird anschließend durch die Anzahl der Werte geteilt, und genau hier trennen sich die beiden Funktionen:

• Geteilt durch n − 1 = 4 ergibt sich die Varianz 3,5. Die Wurzel daraus ist 1,870829 … So rechnet STABW.S (englisch STDEV.S).
• Geteilt durch n = 5 ergibt sich 2,8, die Wurzel ist 1,673320 … So rechnet STABW.N (englisch STDEV.P).

Die Varianz selbst liefern VAR.S und VAR.P. Sie ist für Berichte unpraktisch, weil sie in „Quadrat-Tagen" gemessen wird. Die Standardabweichung hat wieder die Einheit der Daten, hier also Tage.

Wenn Sie den Rechenweg in Excel nachbauen wollen, etwa um ihn Kolleginnen und Kollegen zu zeigen, genügen drei Hilfsspalten: In Spalte B die Abweichung =A2-MITTELWERT($A$2:$A$6), in Spalte C das Quadrat =B2^2, darunter =WURZEL(SUMME(C2:C6)/(ANZAHL(A2:A6)-1)). Das Ergebnis muss mit =STABW.S(A2:A6) übereinstimmen. Weicht es ab, steckt meist eine Textzahl oder eine leere Zeile im Bereich.

STABW.S oder STABW.N?

Laut Microsoft-Dokumentation geht STABW.S davon aus, dass die Werte eine Stichprobe sind, und rechnet mit der Methode „n−1". STABW.N geht davon aus, dass die Werte die Grundgesamtheit sind, also alle Fälle, über die Sie eine Aussage machen wollen, und rechnet mit „n".

Die Frage lautet also nicht, wie viele Werte Sie haben, sondern worüber Sie sprechen:

• Die zehn Brezeltage sollen etwas über künftige Tage aussagen: Das ist eine Stichprobe, also STABW.S.
• Sie beschreiben die Noten genau dieser einen Klasse in genau dieser Klausur und wollen nichts verallgemeinern: Das ist die Grundgesamtheit, also STABW.N.

Microsoft verwendet in beiden Funktionsartikeln dieselben zehn Messwerte zur Bruchfestigkeit von Werkzeugen (1345, 1301, 1368, 1322, 1310, 1370, 1318, 1350, 1303, 1299). STABW.S liefert 27,46391572, STABW.N unter der Annahme, dass nur diese zehn Werkzeuge hergestellt werden, 26,05455814. Beide Werte lassen sich mit Python exakt nachrechnen.

Wie groß der Unterschied ist, hängt nur von n ab: STABW.S ist immer um den Faktor √(n ÷ (n − 1)) größer als STABW.N.

Bei den Brezeln von Filiale B (n = 10) liefert STABW.N 21,51 statt 22,68, also gut 5 Prozent weniger. Microsoft schreibt dazu nur, dass beide Funktionen bei vielen Werten „ungefähr gleiche Werte" zurückgeben. Die Tabelle oben macht das „ungefähr" greifbar.

Streuung vergleichen, wenn die Größenordnung nicht passt

Die Standardabweichung hat die Einheit der Daten. Deshalb kann man sie nicht direkt vergleichen, wenn die Mittelwerte sehr verschieden sind. Angenommen, dieselbe Bäckerei nimmt auch Online-Vorbestellungen an, im Schnitt 12 pro Tag, an den zehn Tagen 8, 15, 11, 19, 6, 14, 10, 17, 9 und 11 (Beispieldaten). STABW.S ergibt rund 4,14. Das ist viel kleiner als 22,68, aber ist das Geschäft deshalb gleichmäßiger?

Für diesen Vergleich teilt man die Standardabweichung durch den Mittelwert. Das Ergebnis heißt Variationskoeffizient; eine eigene Excel-Funktion gibt es dafür nicht:

=STABW.S(D2:D11)/MITTELWERT(D2:D11)

Als Prozentwert formatiert, ergibt sich für die Online-Bestellungen 34,47 %, für Filiale B 18,90 % und für Filiale A 1,67 %. Gemessen an ihrem eigenen Niveau schwanken die Online-Bestellungen also am stärksten. Der Variationskoeffizient ist nur für Daten sinnvoll, die keine negativen Werte haben und einen echten Nullpunkt besitzen, also etwa Stückzahlen, Beträge oder Zeiten, nicht aber Temperaturen in Grad Celsius.

Typische Fehler und wie Sie sie erkennen

Zahlen, die als Text gespeichert sind

Laut Microsoft werden in einem Bezug nur Zellen berücksichtigt, die Zahlen enthalten. Leere Zellen, Wahrheitswerte, Text und Fehlerwerte werden ignoriert. Das ist bequem und gefährlich zugleich. Steht in Filiale B der Wert 140 versehentlich als Text in der Zelle, etwa nach einem CSV-Import, rechnet STABW.S still mit neun statt zehn Werten: 22,87 statt 22,68, und der Mittelwert sinkt auf 117,78. Eine Fehlermeldung gibt es nicht.

Prüfen Sie deshalb mit =ANZAHL(C2:C11), ob wirklich zehn Zahlen gezählt werden. Wie Sie Textzahlen beim Import vermeiden, steht im Artikel über den CSV-Import ohne Zahlensalat.

Null statt leer

Der umgekehrte Fall: Ein Ruhetag wird mit 0 statt mit einer leeren Zelle eingetragen. Ersetzt man in Filiale B den fünften Tag (98) durch 0, fällt der Mittelwert auf 110,2 und die Standardabweichung verdoppelt sich fast, auf 44,20. Die Null ist dann kein Verkaufsergebnis, sondern eine fehlende Angabe, und gehört nicht in die Berechnung.

Gefilterte und ausgeblendete Zeilen

STABW.S berücksichtigt auch Zeilen, die Sie mit einem Filter ausgeblendet haben. Wollen Sie nur die sichtbaren Zeilen auswerten, hilft AGGREGAT. Die Funktionsnummer 7 steht für STABW.S, 8 für STABW.N; die Option 5 bedeutet laut Microsoft „Ausgeblendete Zeilen ignorieren":

=AGGREGAT(7;5;C2:C11)

Mit der Option 7 werden zusätzlich Fehlerwerte übersprungen. Wie gefilterte Daten in Pivot-Tabellen zusammengefasst werden, beschreibt der Artikel zur Vorbereitung von Pivot-Tabellen.

Die Zahl richtig lesen

Eine Standardabweichung ist keine Spanne, in der „alle" Werte liegen. Bei Filiale B liegen sechs der zehn Tage innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, also zwischen 97,3 und 142,7 Brezeln. Die übrigen vier liegen außerhalb. Die oft zitierte Faustregel, dass rund zwei Drittel der Werte innerhalb einer Standardabweichung liegen, gilt nur für annähernd normalverteilte Daten. Bei schiefen Verteilungen mit einzelnen Ausreißern ist die Standardabweichung selbst verzerrt; dann lohnt der Blick auf Median und Quartile, wie im Artikel Mittelwert oder Median beschrieben.

Für die Bäckerei heißt das konkret: Filiale A kann mit einer festen Menge planen. Für Filiale B lohnt es sich, nach Mustern zu suchen, etwa nach Wochentagen, bevor man die Streuung als Zufall abtut. Ein Liniendiagramm über die Tage zeigt solche Muster schneller als jede Kennzahl; welcher Diagrammtyp passt, steht in Balken, Linie oder Kreis?.

Checkliste für die nächste Auswertung

• Klären Sie zuerst, ob Ihre Werte eine Stichprobe oder die Grundgesamtheit sind, und wählen Sie danach STABW.S oder STABW.N.
• Prüfen Sie mit ANZAHL, ob alle Werte als Zahlen gezählt werden.
• Lassen Sie fehlende Angaben leer, statt eine 0 einzutragen.
• Nutzen Sie AGGREGAT, wenn nur gefilterte Zeilen zählen sollen.
• Geben Sie die Standardabweichung immer zusammen mit dem Mittelwert und der Anzahl der Werte an.
• Vergleichen Sie Reihen mit sehr unterschiedlichem Niveau über den Variationskoeffizienten, nicht über die Standardabweichung.
• Bei Ausreißern oder schiefen Daten zusätzlich Median und Quartile ansehen.